Численное Интегрирование Курсовая
Задание на курсовую работу. Вариант № 42. Студенту гр.220371 Подобеденко И.В. Тема: 'Численное интегрирование-методом Гаусса'. Разработайте алгоритм и программу: 1) вычисления определённого интеграла методом Гаусса и 2) построения графика функции я 3) построения нескольких (по 2 - 3) “шагов” интегрирования на участках возрастания и убывания функции. Контрольный пример. Исходные данные.
Численное интегрирование разными методами Содержание: Задание Исходные данные. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.1 Аналитически.2 Метод средних прямоугольников.2.1 Метод средних прямоугольников при n=1.2.2 Метод средних прямоугольников при n=2.3 Метод трапеций.3.1 Метод трапеций при n=1.3.2 Метод трапеций при n=2.4 Метод Симпсона.4.1 Метод Симпсона при n =1.4.2 Метод Симпсона при n=2. Вычисление интеграла методом Гаусса 2.1 Одноточечная схема метода Гаусса 2.2 Двухточечная схема метода Гаусса.3 Трехточечная схема метода Гаусса. Сравнительный анализ точности полученных результатов.
Вычисление интеграла.1 Аналитически.2 Метод Гаусса.2.1Одноточечная схема.2.2 Двухточечная схема Вывод Задание: 1. Вычислить интеграл аналитически, а затем численно методами средних прямоугольников, трапеций, Симпсона, принимая n=1 и n=2 (n-количество разбиений отрезка интегрирования) 2.
Вычислить этот же интеграл методом Гаусса по одноточечной, двух точечной и трехточечной схемам интегрирования. Сделать сравнительный анализ точности полученных результатов. Вычислить интеграл аналитически, а затем численно методом Гаусса по одноточечной и двухточечной схемам. Сравнить результаты Исходные данные: a = 0 b = f(x) = x cos(x) f(x,y) = 2x 2 + y 2 1. Вычисление интерграла аналитически, методом средних прямоугольников, методом трапеций, методом Симпсона.1 Аналитически Для вычисления данного интеграла используем формулу интегрирования по частям:. Пусть: u = x dv = cos (x) dx Тогда: du = dx v = sin(x) Следовательно: Откуда получаем: 1.2 Метод средних прямоугольников Метод прямоугольников получается при замене подынтегральной функции на константу.
В качестве константы можно взять значение функции в любой точке отрезка. Наиболее часто используются значения функции в середине отрезка и на его концах. Соответствующие модификации носят названия методов средних прямоугольников, левых прямоугольников и правых прямоугольников. По методу средних прямоугольников на интервале x i, x i +hимеем 1.2.1 Метод средних прямоугольников для n=1 При n=1: i =a i+h =b = h=(b-a)/n Исходя из этого получаем уравнение: = ((b-a)/n). ( cos( )) Подставляя в полученное уравнение исходные данные получаем: =(( - 0)/1).((0+(( - 0)/1)/2).cos(0+(( - 0)/1)/2)) = 0 = 0 Погрешность: R= =-2,584 1.2.2 Метод средних прямоугольников для n=2 В данном случае исходный отрезок интегрирования разбивается на 2 отрезка интегрирования: (0; ) и (; ). В связи с этим: X 1 =0. = h=(b-a)/n По полученным данным получаем уравнение: = ((b-a)/2).(((x 1 +(b-a)/4).(cos(x 1 +(b-a)/4))+((x 2 +(b-a)/4).(cos(x 2 +(b-a)/4)) Подставляем в полученное уравнение начальные данные и получаем: = (( -0)/2).(((0+( -0)/4).(cos(0+( -0)/4))+( ( +( - )/4).(cos( + ( -0)/4)) = -1,745 = -1,745 Погрешность: R= =-0,636 1.
3 Метод трапеций Метод трапеций - метод численного интегрирования =.3. 1 Метод трапеций при n=1 На отрезке (a;b) заменяем f(x) полином первой степени. В этом случае Xi=a Xi+h=b h=(b-a)/n и уравнение имеет вид: = ((b-a)/n).(a cos(a))+(b cos(b))/2 Подставим исходные данные и получим: = ((-0)/1).(0.
cos(0))+(.cos(/2 = -4,935 = -4,935 Погрешность: R0=(-h3/12).f(xi)= 8,117 1.3.2 Метод трапеций при n=2 Отрезке (a;b) разбиваем на 2 отрезка (a;c) и (c;b) и замеим f(x) полином первой степени на обоих отрезках. В этом случае X1=a X2 =c = (a+b)/2 X3 =b h=(b-a)/n и уравнение имеет вид: = ((b-a)/n).(((a cos(a))+(c cos(c))/2)+(( c cos(c))+(b (b))/2)) Подставим исходные данные и получим: = ((-0)/1).(((0. cos(0))+(.cos(/2)+ ((. ( ))+(. cos)/2)) = -2,467 = -2,467 Погрешность: R0=(-h3/12).f(xi)=0,646 численный интегрирование симпсон гаусс 1.4 Метод Симпсона Метод Симпсона - метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на полином второй степени, то есть на параболу. Формула Симпсона: = hf(x 0 )+4f(x 1 )+f(x 2 )/3.4.1 Метод Симпсона при n =1 Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P 2 (x) - параболой, проходящей через равноотстоящие точки x 0,x 1,x 2.
В данном случае X 0 =a X 1 =c = (a+b)/2 X 2 = b H = (b-a)/2n Полученное уравнение имеет вид: = (b-a)/2n (a cos(a))+(c cos(c))+(b cos (b))/3 Подставляем исходные данные и получаем: = ( -0)/2.1 (0 cos(0))+( cos( ))+( cos ( ))/3 = - 1,645 =-1,645 1.4.2 Метод Симпсона при n=2 В данном случае исходный отрезок a;b разбиваем на 2: a;c и c;b. Подынтегральную функцию f(x) заменим полином второй степени P 2 (x) - параболой, проходящей через равноотстоящие точки x 0,x 1,x 2 - на первом отрезке и x 2,x 3,x 4 - на втором отрезке. В данном случае X 0 =a X 1 =d = (a+c)/2 X 2 = с= (a+b)/2 3 = e = (c+b)/2 4 =b=(b-a)/2n Полученное уравнение имеет вид: = (b-a)/2n( ((a cos(a))+(d cos(d))+(c cos (c))/3)+((c cos(c)) + 4(e cos(e)) + (b cos(b))/3)) Подставляем исходные данные и получаем: = ( -0)/2.1(( (0 cos(0))+( cos( )) + ( cos (. Вычисление интеграла методом Гаусса Метод Гаусса - метод численного интегрирования, позволяющий повысить алгебраический порядок точности методов на основе интерполяционных формул путём специального выбора узлов интегрирования без увеличения числа используемых значений подынтегральной функции. Метод Гаусса позволяет достичь максимальной для данного числа узлов интегрирования алгебраической точности. Например, для двух узлов можно получить метод 3-го порядка точности, тогда как для равноотстоящих узлов метода выше 2-го порядка получить невозможно.
В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности. Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнями полинома Лежандра степени и приводятся в справочниках специальных функций вместе с соответствующими весами. Формула: =, Где t- координаты узлов C k - весовые коэффициенты 2.1 Одноточечная схема метода Гаусса. При наличии 1-го узла t=0 c k = 2 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = =0 =0.2 Двухточечная схема метода Гаусса При наличии 2-х узлов t 1 =-1/ t 2 = 1/ c 1 = 1 c 2 = 1 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = = -2,244 =-2,244.3 Трехточечная схема метода Гаусса При наличии 3-х узлов t 1 = - t 2 = 0 t 3 = c 1 = 5/9 c 2 = 8/9 c 3 =5/9 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим: = = -1,992 =-1,992 3. Сравнительный анализ точности полученных результатов МетодТочное значение интеграла =ПогрешностьАналитически-2-Средних прямоугольников, n=10-2,584Средних прямоугольников, n=2-1,745-0,636Трапеций, n=1-4,9358,117Трапеций, n=2-2,4670,646Симпсона, n=1-1,645-0,355Симпсона, n=2-1,9860,014Гаусса, n=10-2Гаусса, n=2-2,2440,244Гаусса, n=3-1,992-0,008 4. Вычисление интеграла 4.1 Аналитически Вычислим внутренний интеграл i=. Интеграл суммы равен сумме интегралов, следовательно: = + = 2.
+ x = (2/3 + ) =,639 + 3,14 Подставим полученное значение во внешний интеграл и вычислим его. = + =20,639y +,14 = 64,807 + 32, 404 = 97,211 4.2 Метод Гаусса. Двойной интеграл вычисляется методом Гаусса аналогично одномерному случаю.2.1Одноточечная схема. При наличии 1-го узла =0 c i,j = 2 Формула имеет вид: = Подставим в данную формулу исходные данные и получим.
АННОТАЦИЯ В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла. В материале имеются иллюстрации, с помощью которых, можно более глубоко вникнуть в суть рассматриваемой темы. СОДЕРЖАНИЕ Введение3 Основная часть.4 -формула прямоугольников.6 -формула трапеций.8 -формула Симпсона10 Практика.15 Заключение.19 Список литературы.20 ВВЕДЕНИЕ Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования.
Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, 'классические' методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ I.Определение интеграла и его геометрический смысл.
В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F( b)- F( a) любой из преобразованных функций F( x)+ c при изменении аргумента от x= a до x= b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается.
A Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом: (1) это формула Ньютона-Лейбница. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2: Если при любой последовательности разбиений отрезка a; b таких, что δ= maxΔx i→0 ( n→∞) и при любом выборе точек интегральная сумма σ k= f(ε i) Δ x i стремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. Lim n→∞ σ k = lim δ→0 f ( ε i) Δx i= A(2). Где Δх i= x i- x i-1 ( i=1,2, n) ε= maxΔx i – начало разбиения произвольная точка из отрезка x i-1; x i сумма всех произведений f(ε i)Δ x i( i=1, n).
Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ: Всякая непрерывная на отрезке a, b функция f интегрируема на отрезке a, b, функция f неотрицательна, но определённый интеграл численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x= a и x= b, S= f( x) dx. II.Приближённые методы вычисления.
Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’= f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции. Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных. Например следующие интегралы: ∫ e - x dx; ∫; ∫ dx/ ln│ x│; ∫( e x/ x) dx; ∫ sinx 2 dx; ∫ ln│ x│ sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях. Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной.
Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования. В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше. Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона. Формула прямоугольников Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления: требуется вычислить определённый интеграл:.
Пусть на отрезке a, b задана непрерывная функция y= f( x). Разделим отрезок a, b, аналогично как в формуле трапеций: точками a= x0, x1, x2, x n= b на n равных частей длины Δх, где Δх=( b- a)/ n. Y=f(x) Обозначим через y0, y1, y2, y n-1, y n значение функции f( x) в точках x0, x1, x2, x n, то есть, если записать в наглядной формуле: Y 0 =f(x 0 ), y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 )y n,=f(x n ). В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. Составим суммы: y0 Δx+ y1 Δx1+ y2 Δx2+ y n-1Δ x; Y1 Δx+ y2 Δx y nΔ x Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через y i: Sпр= a. b= y i Δx. Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f( x) на отрезке a, b, и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл.
Численное Интегрирование Курсовая Работа
Вынесем Δ x=( b- a)/ n из каждой суммы, получим: f(x)dx≈Δx(y 0 +y 1 y n-1 ); f(x)dx≈Δx(y 1 +y 2 y n ). Выразив x, получим окончательно: f(x)dx≈((b-a)/n)(y 0 +y 1 y n-1 );(3) f(x)dx≈((b-a)/n)(y 1 +y 2 y n );(3.) Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции.
Численное Интегрирование Реферат
Если f( x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает S фигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3.)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления). Для вычисления погрешности этого метода используется формула: P np=, где Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3.) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: (3.) 2.Формула трапеций. Возьмём определённый интеграл ∫ f( x) dx, где f( x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция f заменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат y i-1 и y i ( i=1,2, n). Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x= a, x= b, y=0, y= f( x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями y i-1 и y i и высотой h=( b- a)/ n, так как (если более привычно выражать для нас) h это Δ x, a Δ x=( b- a)/ n при делении отрезка на n равных отрезков при помощи точек x0= a.